周六上午,京市一中数学竞赛集训教室。
    阎正站在讲台上,目光扫过下方十几个学生。
    “今天是集训第一课。”
    他停顿半晌，语气凉了几度。
    “我不管你们是怎么进来的，在这里，只有实力说话。”
    显然，某些人把关係户塞进集训队的事儿，让他很不爽。
    教室里安静下来。
    陆安安坐在第二排,手指轻轻摩挲著笔桿。
    【终於进来了。】
    【接下来,就等陆昭昭出丑。】
    她侧头看向最后一排。
    陆昭昭坐在角落,面前摊开一本《数论导引》,目光平静地扫过书页。
    阎正转身在黑板上写下一道题:
    “设p为大於3的质数,证明:p2-1能被24整除。”
    教室里响起笔尖划过纸张的声音。
    陆安安盯著题目,脑海中快速搜索记忆。
    【这道题我见过。】
    【上一世省赛真题,用费马小定理和同余性质。】
    她深吸一口气,开始在草稿纸上推导。
    十分钟后。
    阎正放下粉笔。
    “谁做出来了?”
    陆安安举起手。
    阎正眉毛微挑。
    “陆安安,你上来讲。”
    陆安安站起身，走到讲台前，拿起粉笔。
    “因为p是大於3的质数，所以p不能被2和3整除。”
    她在黑板上写下第一行。
    “p是奇数，考察p模8的情况：p≡1,3,5,7(mod 8)。”
    她继续推导。
    “计算可得p2≡1(mod 8)。同理p2≡1(mod 3)。”
    “由於gcd(8,3)=1，根据中国剩余定理，p2≡1(mod 24)。”
    “因此p2-1能被24整除。”
    阎正点点头。
    “思路正確，但表述可以更严谨。”
    陆安安脸上浮现出笑容,转身走回座位。
    【陆昭昭还在看书。】
    【她肯定做不出来。】
    阎正看向最后一排。
    “昭昭,你做出来了吗?”
    陆昭昭合上书,抬起头。
    “做出来了。”
    阎正点点头。
    “你也上来讲讲。”
    陆昭昭站起身,走到讲台前。
    "我想到了三种思路。"
    教室里安静下来。
    陆安安手指一紧。
    【三种？】
    陆昭昭拿起粉笔,在黑板上写下第一行。
    “第一种,因式分解。p2-1=(p-1)(p+1)。”
    她的笔尖快速移动。
    “p是大於3的质数,则p-1和p+1是两个连续偶数,其中必有一个被4整除,另一个被2整除,所以(p-1)(p+1)能被8整除。”
    她顿了顿。
    “又因为p不能被3整除,所以p≡1或2(mod 3),则p-1或p+1能被3整除。”
    “综上,p2-1能被24整除。”
    阎正点点头。“继续。”
    陆昭昭擦掉第一种方法,写下第二行。
    “第二种,同余类討论。p＞3,则p≡1或5(mod 6)。”
    她的推导速度更快了。
    “当p≡1(mod 6)时,p2≡1(mod 24)。”
    “当p≡5(mod 6)时,p2≡25≡1(mod 24)。”
    “所以p2-1≡0(mod 24)。”
    教室里响起倒吸冷气的声音。
    陆安安的手指攥的生疼。
    【她怎么可能想的这么快?】
    阎正看向陆昭昭。
    “第三种呢?”
    陆昭昭放下粉笔,拿起另一支不同顏色的粉笔。
    “第三种,直接验证。”
    她转身面对黑板。
    “质数p＞3,则p=6k±1的形式。”
    “当p=6k+1时,p2-1=(6k+1)2-1=36k2+12k=12k(3k+1)。”
    “3k与3k+1中必有一个为偶数,所以12k(3k+1)能被24整除。”
    “当p=6k-1时,同理可证。”
    教室里鸦雀无声。
    陆昭昭转身走回座位。
    陆安安的脸色惨白。
    【不可能。】
    【她怎么能想到这么多方法?】
    阎正看著黑板上三种解法,眼中闪过讚赏。
    “三种方法各有特点。第一种直观,第二种系统,第三种严密。”
    他转身在黑板上写下第二道题。
    “下一题:证明存在无穷多个形如4k+1的质数。”
    教室里安静下来。
    陆安安盯著题目,脑海中一片空白。
    【这道题……】
    【我没见过。】
    她侧头看向陆昭昭。
    陆昭昭已经在草稿纸上写下第一行。
    十五分钟后。
    阎正放下粉笔。
    “这道题有一定难度,你们能做到哪一步,就做到哪一步。”
    教室里只有沙沙的写字声。
    又过了十分钟。
    阎正看向全班。
    “谁有思路?”
    阎正直接看向最后一排。
    “陆昭昭?”
    陆昭昭放下笔。
    “我写了一个证明,但用到了一个结论,不確定是否超出竞赛范围。”
    阎正点点头。
    “你先讲讲思路。”
    陆昭昭走到讲台前,拿起粉笔。
    “我用反证法。假设形如4k+1的质数只有有限个,设为p?,p?,…,p?。”
    她的字跡工整。
    “构造数n=(2p?p?…p?)2+1”
    “注意到n≡1(mod 4),所以n是4k+1型的。”
    她继续写道:
    “n＞1,必有质因子。设q是n的任一质因子。”
    “如果q=2,则2|(2p?p?…p?)2+1,但(2p?p?…p?)2是偶数,加1是奇数,矛盾。”
    “所以q是奇质数。”
    “如果q是4k+3型的,那么n的所有质因子都是4k+3型,则n也是4k+3型,与n≡1(mod 4)矛盾。”
    “所以q必是4k+1型的质数。”
    她停顿了一下。
    “但q不在{p?,p?,…,p?}中,因为n除以任何p?都余1。”
    “这与假设矛盾。所以形如4k+1的质数有无穷多个。”
    陆昭昭放下粉笔。
    “但这个证明用到了4k+3型质数的乘积还是4k+3型这个性质,需要单独证明。”
    阎正点点头。
    “这个证明思路是对的。你提到的那个性质確实需要证明,不过很简单:(4a+3)(4b+3)=16ab+12a+12b+9=4(4ab+3a+3b+2)+1,所以两个4k+3型数的乘积是4k+1型。这说明如果n的所有质因子都是4k+3型,n就不可能是4k+1型。”
    他转身面向全班。
    “陆昭昭的证明用到了数论中的构造法和反证法,思路很清晰。这类证明在竞赛中经常出现,大家要好好体会。”
    阎正看了一眼时间。
    “今天的课就到这里。”
    他扫视全班。
    “回去后好好复习今天讲的內容,特別是同余的性质和因式分解的技巧。下周会有测试。”
    学生们陆续收拾东西离开。
    陆安安走到门口,回头看了一眼。
    陆昭昭正在整理书包,表情平静。
    【该死……】
    【她不仅会做,还能讲得这么清楚。】
    陆安安咬了咬嘴唇,快步走出教室。
    走廊里,几个竞赛组的男生聚在一起。
    “陆昭昭也太厉害了吧,一道题能想出三种方法。”
    “是啊,而且每种方法都讲得特別清楚,我全听懂了。”
    “不过她平时看起来挺冷淡的,不太好接近。”
    陆安安路过时,听到这些话,脸色更加难看。
    她加快脚步,走向教学楼。
    拐角处,沈逸正倚在墙边等她。
    “安安。”
    他走上前。
    “怎么样?第一天集训还习惯吗?”
    陆安安勉强笑了笑。“还好。”
    沈逸看出她情绪不对。
    “怎么了?是不是有人欺负你?”
    陆安安摇摇头。“没有,只是……”
    她顿了顿。
    “姐姐她在竞赛组表现得很好,大家都很佩服她。”
    沈逸皱眉。
    “陆昭昭?她能有多好?”
    陆安安低下头。
    “她用了三种方法解同一道题,每种方法都很完整,讲得也很清楚。阎老师一直在夸她。”
    沈逸愣住。
    “什么?”
    陆安安抬起头,眼中带著委屈。
    “沈逸哥哥,我觉得自己好没用。”
    “我明明那么努力,可还是比不上她。”
    她停顿了一下,脸色为难的说：
    “对了,我昨天晚上回家的时候,看到姐姐在房间里看数学竞赛试题。”
    沈逸眼神一动。
    “什么试题?”
    陆安安好像在回忆著。
    “好像就是今天阎老师讲的那些题目。我看到她草稿纸上写的数字和今天黑板上的很像。”
    沈逸的表情变得微妙。
    “你確定?”
    陆安安点点头。
    “应该没错。我看到她在写关於质数的证明,今天阎老师就讲了那道4k+1质数的题。”
    沈逸眼中闪过一丝深意。
    “看来陆昭昭只是运气好,提前看过题而已。”
    “等真正比赛的时候,她肯定会露馅。”
    陆安安咬著嘴唇。“可是万一……”
    “没有万一。”
    沈逸打断她。
    “我相信你，你才是最棒的！”
    陆安安看著他,眼眶微红。“谢谢你,沈逸哥哥。”
    沈逸揉了揉她的头。
    “走吧,我陪你去吃饭。”
    两人並肩走向食堂。